Bifurkasi pitchfork pada sistem flutter sayap pesawat terbang

(Pitchfork bifurcation on a flutter system of aircraft wings)

Hartono1) dan Kus Prihantoso Krisnawan2)

Jurusan Pendidikan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Yogyakarta (UNY),
 Kampus Karangmalang, Sleman, DI Yogyakarta 55281, tel. 08122753549, faks. (0274) 548203 
dan 1)e-mail: hartono@uny.ac.id, 2)e-mail: kuspk@uny.ac.id.

Abstrak

Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis terjadinya bifurkasi pada sistem flutter. Sistem flutter merupakan model matematika dari fenomena ketidakstabilan dinamik yang terjadi pada struktur fleksibel pesawat terbang karena adanya gaya aerodinamis yang ditambahkan. Analisis dilakukan dengan cara mentransformasi sistem berdasarkan teori center manifold sehingga didapatkan bentuk normal suatu bifurkasi. Hasil analisis menunjukkan bahwa pada sistem flutter terjadi bifurkasi pitchfork.
Kata kunci: bifurkasi pitchfork, sistem flutter, center manifold

Abstract

The goal of this research is to analyze a bifurcation on a flutter system. Flutter system is a mathematics model of instability phenomenon on the flexible structures of an aeroplane due to the aerodynamic force. The analysis is done by system transformation based on the center manifold theorem. The transformation end is to get the normal form of a certain bifurcation. The result shows that there is a pitchfork bifurcation on the flutter system.
Keywords: pitchfork bifurcation, flutter system, center manifold

Pendahuluan

Flutter merupakan fenomena ketidakstabilan dinamik yang terjadi pada struktur fleksibel pesawat dan bersifat merusak. Menurut Keiichi Imamura [1], fenomena ini muncul sebagai hasil interaksi antara gaya aerodinamis, kekakuan (atau kelenturan), dan gaya inersia pada struktur. Vinayagamurthy, et al. [2] menyatakan bahwa saat pesawat bergerak (terbang), dimungkinkan terdapat titik pada struktur pesawat yang tidak dapat meredam gerakan yang semakin cepat (getaran yang diperkuat) karena adanya gaya aerodinamis yang ditambahkan ketika kecepatan angin semakin tinggi. Getaran ini dapat mengakibatkan kerusakan struktur pesawat, terutama pada permukaan aerodinamik seperti misalnya sayap, ekor vertikal dan horisontal. Oleh karenanya, Hodges dan Pierce [3] mengatakan bahwa pertimbangan aeroelastisitas mutlak diperlukan dalam mendesain sebuah pesawat, karena flutter dapat menyebabkan kelelahan struktur dan bencana.
Sebenarnya, fenomena flutter tidak terjadi pada awal dibuatnya pesawat. Pada masa itu, sayap pesawat dibuat rigid. Namun kemudian sayap pesawat pada generasi-generasi berikutnya dibuat lebih lentur. Hal ini dimaksudkan agar bobot pesawat lebih ringan. Alasannya, benda yang lentur lebih ringan daripada benda rigid. Memang benar terjadi, bobot pesawat jadi makin ringan dan gerak pesawatpun jadi makin cepat. Namun ternyata dengan dibuatnya sayap yang lentur menyebabkan munculnya fenomena flutter. Dari sini muncul permasalahan, yaitu jika sayap pesawat dibuat rigid maka pesawat jadi makin berat sehingga gerak pesawat menjadi lambat dan jika sayap dibuat lentur maka pesawat jadi makin ringan namun mengakibatkan terjadinya fenomena flutter ini. Oleh karena itu, pertimbangan kekakuan atau kelenturan sayap pesawat mutlak diperlukan. Pada penelitian ini, karakteristik dari fenomena flutter diselidiki melalui model matematika.
Model matematika dari fenomena flutter disebut sebagai sistem flutter. Beberapa penelitian yang telah dilakukan terhadap sistem flutter di antaranya adalah Yang [4], Liu, et al. [5], dan Coller dan Chamara [6]. Yang [4] menunjukkan bahwa pada sistem flutter muncul osilasi limit cycle (Limit Cycle Oscilation (LCO)). Kemudian Liu, et al. [5] menggunakan teori center manifold untuk meneliti sistem flutter berdimensi 8 dan memberikan prediksi atas frekuensi dasar dari LCO yang terjadi. Coller dan Chamara [6] melakukan reduksi orde terhadap sistem flutter sehingga didapatkan 6 persamaan diferensial berorde 1 dan menggunakan teori center manifold untuk meneliti sistem.
Sistem flutter yang diselidiki pada penelitian ini didasarkan pada model yang diberikan oleh Chen dan Liu, [7]. Dipilihnya sistem ini karena merupakan bentuk model sistem flutter yang lebih baru dan lebih sederhana jika dibandingkan dengan sistem yang diteliti oleh Yang pada tahun 1995 [4], Liu pada tahun 2000 [5], maupun Coller dan Chamara pada tahun 2004 [6]. Sistem ini hanya terdiri dari 2 persamaan diferensial berorde 2. Persamaan tersebut adalah

               (1)

dengan h adalah plunge displacement of airfoil,  adalah pitch displacement of airfoil, Q adalah generalized air speed, k0 adalah linear pitching stiffness, dan e2 > 0 adalah koefisien kekakuan nonlinier.
Di dalam makalahnya, Chen dan Liu [7] berhasil menunjukkan bahwa pada sistem (1) terjadi bifurkasi Hopf superkritikal maupun subkritikal saat parameter k0 bernilai 0.08109668. Untuk keperluan analisis, pada penelitian ini, nilai  digunakan sebagai parameter dan nilai k0 dibuat tetap pada 0.14257143, selanjutnya ditunjukkan bahwa bifurkasi pitchfork terjadi pada sistem flutter dengan menggunakan teorema Center Manifold.

Hasil dan Diskusi

Diberikan sebuah sistem dinamik kontinu

			   (2)

dengan , , dan  untuk suatu , dengan  adalah himpunan fungsi-fungsi yang turunan ke m-nya kontinu. Misalkan , , …,  adalah nilai eigen-nilai eigen dari matriks . Diketahui bahwa  mempunyai sebanyak  nilai eigen dengan bagian real bernilai positif (), sebanyak  nilai eigen dengan bagian real bernilai nol (), dan sebanyak  nilai eigen dengan bagian real bernilai negatif ().
Misalkan  adalah ruang eigen dari  yang terkait dengan nilai eigen-nilai eigen nol dan  adalah flow dari sistem (2) maka teorema berikut berlaku.
Teorema [8]: Terdapat center manifold lokal berdimensi , yaitu , dari sistem (2). Manifold center  menyinggung  pada  dan invariant terhadap flow dari sistem (2), yaitu .					     
Bukti lengkap dari teorema tersebut dapat dilihat pada Ruelle [9].
Selanjutnya, dengan menggunakan teorema tersebut akan dilakukan normalisasi terhadap sistem (1) sehingga diperoleh sebuah bentuk normal dari suatu bifurkasi. Namun sebelumnya, akan dilakukan transformasi terhadap sistem (1).
Transformasi sistem
Transformasi dilakukan terhadap sistem (1) untuk mendapatkan sistem berdimensi 4 dengan orde yang lebih rendah (orde 1). 
Mensubstitusikan , , , , dan nilai k0 = 0.14257143 pada sistem (1) serta dengan melakukan rescaling terhadap waktu t, yaitu ,  didapatkan
					   (3)

Untuk , sistem (3) hanya memiliki 1 titik ekuilibrium yang terletak di titik asal dan untuk , sistem (3) mempunyai tiga titik ekuilibrium, yaitu:  , dan . Adanya perubahan banyaknya titik ekuilibrium ini menandakan terjadinya bifurkasi saat nilai parameter 
Untuk penyederhanaan, misalkan nilai  maka sistem (3) dapat ditulis sebagai

  (4)
dengan .

Nilai eigen dan vektor eigen

Matriks Jacobian dari sistem (4) pada titik ekuilibrium  saat  adalah

Matriks  tersebut mempunyai nilai eigen 0, -3.2,  dan  dengan vektor eigen-vektor eigen yang bersesuaian adalah

dan 

Normalisasi system

Berdasarkan vektor eigen yang telah diperoleh, dibentuk matriks P yang didefinisikan sebagai berikut.

Selanjutnya diperkenalkan variabel baru , dengan . Sehingga dapat dituliskan

Mensubstitusikan , , , dan  ke sistem persamaan (4) didapatkan

 (5)
Secara lokal (untuk  cukup kecil), manifold center dari sistem (5) mempunyai bentuk

sehingga
                                                      (6a)
                                                      (6b)
                                                      (6c)
Jika dimisalkan

Dan mensubstitusikan , , dan  ke persamaan (6a), (6b), dan (6c). Selanjutnya dibandingkan koefisien-koefisien dari ,  dan  diperoleh hasil 
-	Untuk koefisien dari didapatkan

-	Untuk koefisien dari  didapatkan

-	Untuk koefisien dari  didapatkan

Berdasarkan hasil tersebut, didapatkan , , dan .
Mensubstitusikan nilai-nilai tersebut ke , , dan , maka didapatkan
           (7a)
   (7b)
   (7c)
Selanjutnya mensubstitusikan persamaan (7a), (7b), dan (7c) ke bentuk  pada persamaan (5) didapat 

dengan  dan . 
Misalkan  dengan nilai  cukup kecil, maka

Untuk  cukup kecil, jika  maka  dan , jika  maka  dan , dan untuk  didapatkan  dan . Sehingga 
                        		   (8)
dengan  dan  . 
Persamaan (8) merupakan bentuk normal dari sistem yang mengalami bifurkasi pitchfork. Diagram bifurkasi dari sistem (8) diberikan pada Gambar 1.

Gambar 1. Diagram bifurkasi pitchfork.

Interprestasi hasil

Variabel k0 mewakili tingkat kekakuan linier dari sayap pesawat, sedangkan parameter Q mewakili kecepatan angin yang tergeneralisasi (kecepatan angin ditambah kecepatan pesawat).  Untuk nilai k0 = 0.14257143, bifurkasi pitchfork terjadi pada saat parameter Q = . Titik ekuilibrium x = 0 diartikan sebagai posisi normal sayap pesawat (posisi sayap pesawat ketika pesawat diam). Ketika nilai , titik x = 0  merupakan titik yang stabil dengan kata lain, sayap pesawat akan selalu kembali pada posisi semula (normal) walaupun adanya gangguan. 
Sedangkan jika  maka posisi normal sayap pesawat bukan lagi merupakan titik yang stabil, tetapi menjadi titik yang tak stabil. Tidak stabilnya titik x = 0 mengakibatkan setiap kali sayap kembali ke posisi normal maka sayap akan kembali terdorong menjauhi posisi normal (ke atas dan ke bawah). Hal ini akan terjadi terus menerus dan gerakannya akan semakin cepat karena adanya dorongan posisi tak stabil yang ada di tengah (posisi normal sayap pesawat) dan tarikan posisi stabil yang ada di atas dan bawah. Kondisi seperti ini akan menyebabkan sayap pesawat menjadi lelah sehingga dapat membuat patahnya sayap pesawat terbang.

Simpulan

Berdasarkan hasil yang diperoleh dari penelitian ini, dapat disimpulkan bahwa bifurkasi pitchfork terjadi pada sistem flutter di titik ekuilibrium ( yang merupakan titik asal () saat parameter kecepatan udara yang tergeneralisasi () bernilai .

Ucapan Terima Kasih

Dana penelitian ini diperoleh dari dana DIPA FMIPA UNY dengan nomor kontrak 2130/UN34.13/PL/2012.

Pustaka

[1]Imamura, K. Mathematical model improvement for the nonlinear characteristics of transonic flutter. 24TH International Congress of the Aeronautical Sciences (ICAS) 2004. 

 [2]Vinayagamurthy, G. Parammasivam, K.M., dan Pillai, S.N. Flutter analysis of wings, booster fin and vertical tail. Applied Mechanics and Material, Vols 110-116 (2012) pp 3500-3505. Trans Tech Publications, Switzerland. 

[3]Hodges, D.W. dan Pierce, G.A. 2002. Introduction to Structural Dynamics and Aeroelasticity. Cambridge University Press, first edition. 

[4]Yang, Y.R. KBM method of analyzing limit cycle flutter of a wing with an external store and comparison with wind tunnel test. J Sound Vib, 1995, 187(2):271280.

[5]Liu L., Wong, Y.S., dan Lee, B.H.K. Application of the center manifold theory in nonlinear aeroelasticity. J Sound Vib, 2000, 234(4):641659. 

[6]Coller, B.D. dan Chamara, P.A. Structural non-linearities and the nature of the classic flutter instability. J Sound Vib, 2004, 277(4/5):711739.

[7]Chen, Y.M. dan Liu, J.K. Supercritical as well as subcritical Hopf bifurcation in nonlinear flutter systems. Jurnal Applied Mathematics and Mechanics.-Engl. Ed., 2008, 29(2):199206 DOI 10.1007/s10483-008-0207-x.

[8]Perko, L. 2001. Differential Equations and Dynamical Systems. Springer-Verlag: New York.

[9]Ruelle, D. 1989. Elements of differentiable dynamics and bifurcation theory. Academic press, New York.